สำรวจโลกของเส้นโค้งพาราเมตริกด้วยการพิมพ์สมการ x(t) และ y(t) ลงในช่องคำสั่ง โดยที่ t คือพารามิเตอร์เวลาที่กำหนดพิกัดของจุดเคลื่อนที่ เหมาะสำหรับนักเรียนและนักศึกษาที่ต้องการทำความเข้าใจรูปทรงเรขาคณิตอย่าง Lissajous และ hypocycloid ผ่านการปรับค่าความถี่ เฟสต่าง (φ) ช่วง t และความเร็ว สังเกตเส้นทางเรื
เข้าสู่ระบบสมาชิกเพื่อใช้งาน
เคยสงสัยไหมว่า ลายเส้นวิจิตรที่เราเห็นในภาพวาดศิลป์หรือแสงเลเซอร์บนคอนเสิร์ตนั้น คณิตศาสตร์ซ่อนอยู่อย่างไร? ลองนึกภาพจุดเล็กๆ ที่เคลื่อนที่ไปบนหน้าจอ พิกัดของมันไม่ได้กำหนดด้วยสมการเดียว แต่แยกเป็นสองสมการที่ขึ้นกับเวลา คุณจะเห็นเส้นทางสวยงามรูปทรงใดเกิดขึ้นก่อนที่จะปิดเป็นวง?
ชิ้นงานนี้คือเครื่องมือสำรวจเส้นโค้งพาราเมตริกแบบโต้ตอบ ผู้ใช้พิมพ์สมการ x(t) และ y(t) ลงในช่องคำสั่ง จากนั้นจุดเคลื่อนที่จะวาดเส้นทางเรืองแสงสีรุ้งตามสมการที่กำหนดได้แบบเรียลไทม์ คุณสามารถปรับค่าความถี่ของสองแกน เฟสต่าง ช่วง t และความเร็วได้สดๆ เพื่อสังเกตการเปลี่ยนรูปจากวงรีธรรมดาไปสู่ลายเส้นซับซ้อนอย่าง Lissajous หรือ hypocycloid ที่เกิดจากการกลิ้งของวงกลมเล็กในวงกลมใหญ่
เส้นโค้งพาราเมตริกคือเส้นที่พิกัด (x, y) ขึ้นกับตัวแปรเดียว t (พารามิเตอร์) ผ่านสองสมการแยกกัน คล้ายกับการเดินทางในชีวิตจริงที่ตำแหน่งของเราในแต่ละช่วงเวลาไม่ได้กำหนดโดยสมการเดียว แต่ขึ้นกับว่าเวลานั้นเราเคลื่อนไปทางทิศตะวันออกหรือทิศเหนือเท่าใด ตัวอย่างเช่น ลูกตุ้มในนาฬิกาที่แกว่งไปมา ตำแหน่งของมันในแกนนอนและแกนตั้งเปลี่ยนไปตามเวลาด้วยสมการต่างกัน
สำหรับเส้นโค้ง Lissajous สูตรคือ:
x = sin(a·t + φ) y = sin(b·t)
โดยที่ t คือพารามิเตอร์เวลาที่เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ, a คือความถี่ของการสั่นในแกน X, b คือความถี่ของการสั่นในแกน Y, และ φ คือเฟสต่างระหว่างสองแกน อัตราส่วน a:b กำหนดรูปทรงของเส้นโค้ง หากเป็นจำนวนตรรกะเส้นจะปิดเป็นวง ส่วน φ จะเปลี่ยนรูปทรงจากวงรีไปเส้นตรงและวงกลม
สำหรับ hypocycloid จุดบนวงกลมเล็กที่กลิ้งภายในวงกลมใหญ่จะวาดรูปดาวหรือกลีบดอกไม้ สูตรทั่วไปคือ:
x = (R-r)·cos(t) + r·cos((R-r)/r · t) y = (R-r)·sin(t) - r·sin((R-r)/r · t)
โดยที่ R คือรัศมีวงกลมใหญ่, r คือรัศมีวงกลมเล็ก, และ t คือพารามิเตอร์มุมที่กลิ้งไป
เริ่มจากพรีเซต Lissajous ที่มีอยู่ ลองปรับค่าความถี่แกน X และ Y ให้เป็นจำนวนเต็มอย่าง 3 และ 2 สังเกตว่าเส้นจะปิดเป็นรูปทรงสมมาตรหรือไม่ จากนั้นลองเปลี่ยนเป็น 3 และ π โดยลองพิมพ์สมการ y(t) = sin(PI * t) เพื่อใช้ค่าความถี่เป็น π ดู เส้นจะยังปิดเป็นวงหรือกลายเป็นเส้นที่ไม่รู้จบ? ถ้าอัตราส่วนความถี่เป็นจำนวนอตรรกยะเส้นจะเป็นอย่างไร?
ก่อนอื่นตั้งค่าความถี่ทั้งสองแกนให้เท่ากัน (เช่น a = 1, b = 1) จากนั้นลองปรับเฟสต่าง (φ) จาก 0 ไปจนถึง π/2 สังเกตการเปลี่ยนรูปจากเส้นตรงไปวงรีและวงกลม ที่ค่าใดที่เส้นจะกลายเป็นวงกลมสมบูรณ์? ลองบันทึกค่านั้นและเปรียบเทียบกับสูตรที่คุณรู้
ลองพิมพ์สมการ hypocycloid ลงในช่อง x(t) และ y(t) โดยใช้ฟังก์ชัน cos และ sin พร้อมปรับค่า R และ r ดูว่าจำนวนกลีบของดาวเปลี่ยนไปอย่างไรเมื่ออัตราส่วน R:r เปลี่ยน จะได้กลีบเท่าใดเมื่อ R = 5 และ r = 1?
ชิ้นงานนี้จำกัดอยู่ในระนาบสองมิติ ไม่สามารถวาดเส้นโค้งในปริภูมิสามมิติได้ และรองรับเฉพาะฟังก์ชันคณิตศาสตร์พื้นฐานเช่น sin cos tan sqrt abs exp log pow รวมถึงค่าคงที่ PI และ E เท่านั้น นอกจากนี้ความยาวร่องรอย (trail) มีขีดจำกัดที่ 2000 จุด หากสมการซับซ้อนเกินไปอาจทำให้การแสดงผลช้าลง
ถ้าคุณสนุกกับการสร้างลายเส้นสวยงามด้วยคณิตศาสตร์ ลองไปเล่น จำลองการไหลของมวลอากาศผ่านรูปทรงต่างๆ แบบโต้ตอบ ที่จะพาคุณเห็นความงามของพลศาสตร์ของไหล หรือเปลี่ยนบรรยากาศไป คีย์เปียโนเสมือนจริง: เล่นเปียโนออนไลน์ฟรีบนเว็บ ที่เสียงดนตรีก็ซ่อนคณิตศาสตร์ไว้เช่นกัน
