บทที่ 1 จาก 10 · 15 นาที · ดูฟรี

ทำความรู้จักฟังก์ชัน (Function)

ยินดีต้อนรับสู่คอร์ส "ฟังก์ชัน (Function)" สำหรับผู้เริ่มต้นค่ะ ฟังก์ชันคือหัวใจสำคัญของคณิตศาสตร์และการเขียนโปรแกรมที่ช่วยให้เราจัดระเบียบความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูลได้อย่างมีระบบ เนื้อหาในคอร์สนี้ต่อยอดมาจากเรื่อง ความสัมพันธ์ ดังนั้นหากใครยังไม่คุ้นเคยกับเซตและความสัมพันธ์ ขอแนะนำให้ทบทวนก่อนเริ่มบทนี้นะคะ

ในบทแรกนี้ เราจะมาเรียนรู้สิ่งต่อไปนี้:

  • นิยามของ ฟังก์ชัน
  • ความแตกต่างระหว่าง ความสัมพันธ์ กับ ฟังก์ชัน
  • วิธีตรวจสอบว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันหรือไม่ โดยใช้แผนภาพ แผนภาพต้นไม้ และกราฟ
  • เกมจับคู่ความสัมพันธ์แบบสนุก ๆ

พร้อมแล้วไปเริ่มกันเลยค่ะ!

นิยามของฟังก์ชัน

ก่อนอื่นต้องทบทวน ความสัมพันธ์ (Relation) เสียก่อน ความสัมพันธ์คือการจับคู่สมาชิกระหว่างเซตหนึ่งกับอีกเซตหนึ่ง โดยจับคู่กี่คู่ก็ได้ แบบไหนก็ได้ ไม่มีกฎเกณฑ์จำกัด

ฟังก์ชัน (Function) คือความสัมพันธ์ชนิดพิเศษที่มีเงื่อนไขเข้มงวดกว่า นิยามอย่างเป็นทางการคือ:

ฟังก์ชันจากเซต A ไปเซต B คือความสัมพันธ์ที่ทำให้สมาชิก ทุกตัว ของเซต A ไปจับคู่กับสมาชิกของเซต B เพียงตัวเดียวเท่านั้น

กล่าวอีกแบบคือ ถ้าเลือกสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งในเซต A แล้ว จะต้องหาคู่ในเซต B ได้ หนึ่งค่าเดียวเท่านั้น ไม่มีทางได้สองค่า สามค่า หรือไม่ได้ค่าเลย

เราเรียกเซต A ว่า โดเมน (Domain) และเซต B ว่า โคโดเมน (Codomain) ส่วนสมาชิกของ B ที่ถูกจับคู่จริง ๆ เรียกว่า เรนจ์ (Range)

กฎทองคำของฟังก์ชัน

เพื่อให้จำง่าย ขอสรุปเป็นกฎสั้น ๆ สองข้อค่ะ:

  1. ครบทุกตัว — สมาชิกทุกตัวในเซต A ต้องมีคู่ ห้ามมีใครถูกทิ้งไว้เปล่า
  2. ตัวเดียวเท่านั้น — สมาชิกแต่ละตัวในเซต A จับคู่กับ B ได้เพียงตัวเดียว ห้ามจับหลายคู่

ถ้าผ่านกฎทองคำทั้งสองข้อ ความสัมพันธ์นั้นคือ ฟังก์ชัน ค่ะ

ตัวอย่าง: ฟังก์ชัน vs ไม่ใช่ฟังก์ชัน

มาดูตัวอย่างกันเลย สมมติให้

  • เซต A = {1, 2, 3} (โดเมน)
  • เซต B = {a, b, c, d} (โคโดเมน)

ตัวอย่างที่ 1: เป็นฟังก์ชัน

A        B
1 ───→ a
2 ───→ c
3 ───→ b
        d  (ไม่มีใครจับคู่ ไม่เป็นไร)

function_domain_codomain_fixed

ตรวจสอบ: 1 ไป a ✅, 2 ไป c ✅, 3 ไป b ✅ — ทุกตัวใน A มีคู่คนละตัว ผ่านทั้งสองกฎ เป็นฟังก์ชัน!

ตัวอย่างที่ 2: ไม่เป็นฟังก์ชัน (มีตัวจับหลายคู่)

A        B
1 ───→ a
  ───→ b   (1 จับสองคู่!)
2 ───→ c
3 ───→ d

relation_not_function

ตรวจสอบ: 1 ไปทั้ง a และ b ❌ — ผิดกฎข้อ 2 ไม่เป็นฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 3: ไม่เป็นฟังก์ชัน (มีตัวไม่มีคู่)

A        B
1 ───→ a
2 ───→ c
3          (3 ไม่มีคู่!)
        b
        d

relation_partial

ตรวจสอบ: 3 ไม่มีคู่ ❌ — ผิดกฎข้อ 1 ไม่เป็นฟังก์ชัน

💡 สังเกตสำคัญ: สมาชิกในเซต B ไม่จำเป็นต้องถูกจับคู่ครบทุกตัว และสมาชิกใน B สามารถถูกจับคู่โดยสมาชิกใน A หลายตัวก็ได้ สิ่งที่สำคัญคือสมาชิกใน A ต้องมีคู่ ครบทุกตัว และ ตัวละคู่เดียว

วิธีตรวจสอบฟังก์ชัน 3 แบบ

แบบที่ 1: ใช้แผนภาพลูกศร

วาดวงกลมสองวง วงซ้ายคือเซต A วงขวาคือเซต B แล้วลากเส้นเชื่อมคู่ ดูว่ามีเส้นออกจากสมาชิกใน A กี่เส้น ถ้ามีสมาชิกใดใน A ที่ไม่มีเส้นออกเลย หรือมีเส้นออกมากกว่าหนึ่งเส้น ก็ไม่เป็นฟังก์ชัน

แบบที่ 2: ใช้แผนภาพต้นไม้

เขียนสมาชิกของ A ในแนวตั้ง แตกกิ่งออกไปหาสมาชิกของ B ถ้าสมาชิกตัวใดแตกกิ่งออกมากกว่าหนึ่งกิ่ง หรือไม่แตกกิ่งเลย ก็ไม่เป็นฟังก์ชัน

แบบที่ 3: ใช้กราฟ (Vertical Line Test)

วิธีที่นิยมมากเมื่อความสัมพันธ์อยู่ในรูปกราฟบนระนาบพิกัดฉาก คือการใช้ เส้นตรงแนวตั้ง ลากผ่านกราฟจากซ้ายไปขวา

ถ้าเส้นตรงแนวตั้งลากผ่านกราฟแล้ว ตัดกราฟได้ไม่เกินหนึ่งจุด ที่ตำแหน่งใด ๆ แสดงว่าเป็นฟังก์ชัน แต่ถ้าตัดได้มากกว่าหนึ่งจุด แม้เพียงตำแหน่งเดียว ก็ไม่เป็นฟังก์ชัน

ตัวอย่างกราฟที่เป็นฟังก์ชัน: เส้นตรง, พาราโบลา, วงกลมครึ่งบน

ตัวอย่างกราฟที่ไม่เป็นฟังก์ชัน: วงกลมเต็ม, พาราโบลาแนวนอน

เกมจับคู่ความสัมพันธ์ 🎮

มาลองเล่นเกมสนุก ๆ เพื่อทดสอบความเข้าใจกันค่ะ! กติกาคือดูว่าความสัมพันธ์แต่ละข้อเป็นฟังก์ชันหรือไม่ ลองคิดก่อนเฉลยนะคะ

ข้อ 1: เซตนักเรียน → เซตรหัสนักเรียน (นักเรียนแต่ละคนมีรหัสเดียว)

เฉลย เป็นฟังก์ชัน ✅ เพราะนักเรียนแต่ละคนมีรหัสนักเรียนเพียงหนึ่งรหัสเท่านั้น

ข้อ 2: เซตนักเรียน → เซตวิชาที่ลงทะเบียน (นักเรียนคนหนึ่งลงได้หลายวิชา)

เฉลย ไม่เป็นฟังก์ชัน ❌ เพราะนักเรียนคนเดียวจับคู่กับวิชาได้มากกว่าหนึ่งวิชา ผิดกฎข้อ 2

ข้อ 3: เซตประเทศ → เซตเมืองหลวง (แต่ละประเทศมีเมืองหลวงหนึ่งเมือง)

เฉลย เป็นฟังก์ชัน ✅ แต่ละประเทศมีเมืองหลวงเพียงเมืองเดียว

ข้อ 4: เซตบิดา → เซตบุตร (บิดาคนหนึ่งอาจมีบุตรหลายคน)

เฉลย ไม่เป็นฟังก์ชัน ❌ บิดาคนเดียวอาจมีบุตรมากกว่าหนึ่งคน

ข้อ 5: เซตบุตร → เซตบิดา (บุตรแต่ละคนมีบิดาหนึ่งคน)

เฉลย เป็นฟังก์ชัน ✅ บุตรแต่ละคนมีบิดาเพียงคนเดียว (ในทางชีววิทยา)

🎯 ข้อสังเกต: ข้อ 4 และข้อ 5 แสดงให้เห็นว่าการสลับทิศทางของความสัมพันธ์อาจเปลี่ยนสถานะจาก "ไม่เป็นฟังก์ชัน" เป็น "เป็นฟังก์ชัน" ได้ ดังนั้นการระบุว่าเซตใดเป็นโดเมนและเซตใดเป็นโคโดเมนจึงสำคัญมาก!

สรุปท้ายบท

ในบทนี้เราได้เรียนรู้ว่า:

  1. ฟังก์ชัน คือความสัมพันธ์ที่สมาชิกทุกตัวในโดเมนจับคู่กับสมาชิกในโคโดเมน เพียงตัวเดียวเท่านั้น
  2. กฎทองคำสองข้อ: ครบทุกตัว และ ตัวเดียวเท่านั้น
  3. วิธีตรวจสอบฟังก์ชันได้แก่ แผนภาพลูกศร แผนภาพต้นไม้ และการทดสอบเส้นตรงแนวตั้ง (Vertical Line Test)
  4. การสลับทิศทางความสัมพันธ์อาจเปลี่ยนสถานะฟังก์ชันได้

แบบฝึกหัดท้ายบท

ลองตอบคำถามต่อไปนี้ก่อนไปบทถัดไปค่ะ:

  1. ความสัมพันธ์ {(1,3), (2,5), (3,5), (4,7)} เป็นฟังก์ชันหรือไม่? ทำไม?
  2. ความสัมพันธ์ {(1,3), (1,5), (2,7)} เป็นฟังก์ชันหรือไม่? ทำไม?
  3. กราฟของ x² + y² = 9 (วงกลม) เป็นฟังก์ชันหรือไม่? ใช้วิธีใดตรวจสอบ?
  4. ให้เหตุผลว่าทำไม "เซตคน → เซตหมายเลขบัตรประชาชน" จึงเป็นฟังก์ชัน แต่ "เซตหมายเลขบัตรประชาชน → เซตคน" ก็เป็นฟังก์ชันเช่นกัน

ในบทถัดไปเราจะมาเจาะลึกเรื่อง โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน กันค่ะ จะได้รู้ว่าค่าที่ใส่เข้าไปได้และค่าที่ออกมามีขอบเขตอย่างไร แล้วพบกันในบทหน้า!