รู้จักเมทริกซ์ขั้นพื้นฐาน

ยินดีต้อนรับสู่บทแรกของคอร์สเรียนเมทริกซ์ออนไลน์ครับ ในบทนี้เราจะมาเริ่มต้นกันจากจุดศูนย์เลย คือการทำความเข้าใจว่า เมทริกซ์ (Matrix) คืออะไร จะอ่านและระบุขนาดของมันอย่างไร และเมื่อไหร่ที่เราจะถือว่าเมทริกซ์สองตัวเท่ากัน เนื้อหาในบทนี้เป็นรากฐานสำคัญที่จะตามมาตลอดทั้งคอร์ส ฉะนั้นถ้าเข้าใจบทนี้แล้ว บทต่อๆ ไปจะรู้สึกว่าง่ายและเป็นธรรมชาติมากขึ้นครับ

เมทริกซ์คืออะไร

เมทริกซ์ คือ การจัดเลขหรือสัญลักษณ์ต่างๆ ไว้ในรูปของตารางสี่เหลี่ยมผืนผ้า ที่มีแถว (row) และหลัก (column) เป็นระเบียบ โดยแต่ละค่าที่อยู่ในตารางนั้นเรียกว่า สมาชิก (element) ของเมทริกซ์

เพื่อให้เห็นภาพ ลองนึกถึงตารางคะแนนสอบของนักเรียน 3 คน ที่สอบ 2 วิชา เช่น

ชื่อ	คณิต	วิทย์
ก	85	90
ข	78	82
ค	92	88

ถ้าเราเอาแต่ตัวเลขมาจัดเป็นตาราง โดยไม่สนใจหัวตาราง เราจะได้เมทริกซ์หน้าตาแบบนี้ครับ

$$\begin{bmatrix} 85 & 90 \\ 78 & 82 \\ 92 & 88 \end{bmatrix}$$

เมทริกซ์มักจะเขียนอยู่ภายในวงเล็บก้ามปู [ ] หรือวงเล็บใหญ่ ( ) ในคอร์สนี้เราจะใช้วงเล็บก้ามปูเป็นหลักเพื่อให้สอดคล้องกับตำราส่วนใหญ่

สมาชิกของเมทริกซ์กับการอ้างถึงตำแหน่ง

สมาชิกแต่ละตัวในเมทริกซ์จะถูกอ้างถึงด้วยตำแหน่ง (แถว, หลัก) เช่น สมาชิกที่อยู่แถวที่ 2 หลักที่ 1 ของเมทริกซ์ด้านบนคือ 78

เรามักเขียนแทนเมทริกซ์ด้วยตัวอักษรตัวใหญ่ เช่น $A, B, C$ และสมาชิกแต่ละตัวเขียนด้วยตัวอักษรตัวเล็กพร้อมดัชนี เช่น $a_{ij}$ หมายถึงสมาชิกที่อยู่แถวที่ $i$ หลักที่ $j$ ของเมทริกซ์ $A$

ดังนั้นถ้าเราเขียนเมทริกซ์ $A$ แบบทั่วไป จะได้

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$$

💡 เทคนิคจำง่าย: แถวนับลงมาเป็นแนวตั้ง หลักนับข้ามเป็นแนวนอน และเวลาอ้างตำแหน่งให้นึกถึงคำว่า "แถวก่อน หลักทีหลัง"

การระบุขนาดของเมทริกซ์

ขนาดของเมทริกซ์เขียนในรูป $m \times n$ โดยที่

• $m$ = จำนวนแถว (นับเป็นแนวตั้ง)
• $n$ = จำนวนหลัก (นับเป็นแนวนอน)

อ่านว่า "เอ็ม คูณ เอ็น" หรือ "เอ็ม บาย เอ็น"

จากตัวอย่างคะแนนสอบด้านบน มี 3 แถว และ 2 หลัก จึงเป็นเมทริกซ์ขนาด $3 \times 2$

ตัวอย่างการระบุขนาด

ตัวอย่างที่ 1

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$

เมทริกซ์ $A$ มี 2 แถว และ 3 หลัก จึงเป็นเมทริกซ์ขนาด $2 \times 3$

ตัวอย่างที่ 2

$$B = \begin{bmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{bmatrix}$$

เมทริกซ์ $B$ มี 3 แถว และ 1 หลัก จึงเป็นเมทริกซ์ขนาด $3 \times 1$ เมทริกซ์แบบนี้เรียกว่า เมทริกซ์เส้นลักษณ์แนวตั้ง (column vector)

ตัวอย่างที่ 3

$$C = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 5 \end{bmatrix}$$

เมทริกซ์ $C$ มี 1 แถว และ 4 หลัก จึงเป็นเมทริกซ์ขนาด $1 \times 4$ เมทริกซ์แบบนี้เรียกว่า เมทริกซ์เส้นลักษณะแนวนอน (row vector)

⚠️ ระวัง: ลำดับของขนาดสำคัญมาก เมทริกซ์ขนาด $2 \times 3$ กับ $3 \times 2$ ไม่ใช่เมทริกซ์ขนาดเดียวกันนะคะ แม้จะมีสมาชิก 6 ตัวเท่ากันก็ตาม

การเท่ากันของเมทริกซ์

เมทริกซ์สองตัวจะเท่ากันได้ ต้องผ่านเงื่อนไข สองข้อ ดังนี้

1. ขนาดเท่ากัน คือมีจำนวนแถวและจำนวนหลักเหมือนกัน
2. สมาชิกที่ตำแหน่งเดียวกันเท่ากันทุกตัว คือ $a_{ij} = b_{ij}$ สำหรับทุก $i$ และ $j$

ถ้าขาดเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่ง ก็ถือว่าเมทริกซ์นั้นไม่เท่ากันค่ะ

ตัวอย่างการตรวจสอบ

ตัวอย่างที่ 4 เมทริกซ์ต่อไปนี้เท่ากันหรือไม่

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$

ตรวจสอบเงื่อนไขที่ 1: ทั้งสองตัวมีขนาด $2 \times 2$ เท่ากัน ✓

ตรวจสอบเงื่อนไขที่ 2: สมาชิกทุกตำแหน่งเท่ากัน ($a_{11}=1=b_{11}$, $a_{12}=2=b_{12}$, $a_{21}=3=b_{21}$, $a_{22}=4=b_{22}$) ✓

สรุป: $A = B$

ตัวอย่างที่ 5 เมทริกซ์ต่อไปนี้เท่ากันหรือไม่

$$C = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$$

ตรวจสอบเงื่อนไขที่ 1: $C$ มีขนาด $2 \times 2$ ส่วน $D$ มีขนาด $2 \times 3$ ขนาดไม่เท่ากัน ✗

สรุป: $C \neq D$ (ไม่ต้องตรวจเงื่อนไขที่ 2 แล้ว เพราะเงื่อนไขที่ 1 ไม่ผ่าน)

ตัวอย่างที่ 6 เมทริกซ์ต่อไปนี้เท่ากันหรือไม่

$$E = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}, \quad F = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 0 \end{bmatrix}$$

ตรวจสอบเงื่อนไขที่ 1: ทั้งสองตัวมีขนาด $2 \times 2$ เท่ากัน ✓

ตรวจสอบเงื่อนไขที่ 2: สมาชิกที่ตำแหน่ง $(2,2)$ ไม่เท่ากัน เพราะ $e_{22} = 8$ แต่ $f_{22} = 0$ ✗

สรุป: $E \neq F$

โจทย์ฝึกทักทาย

ลองดูว่าเมทริกซ์ต่อไปนี้เท่ากันหรือไม่ ก่อนเลื่อนลงไปดูเฉลยนะคะ

$$P = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad Q = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

เฉลย

ขนาดเท่ากัน ($2 \times 2$) ✓ และสมาชิกทุกตำแหน่งเท่ากัน ✓ ดังนั้น $P = Q$

สรุปท้ายบท

ในบทนี้เราได้เรียนรู้สามสิ่งสำคัญค่ะ

1. เมทริกซ์ คือตารางสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่จัดเลขหรือสัญลักษณ์เป็นแถวและหลักอย่างเป็นระบบ
2. ขนาดของเมทริกซ์ เขียนในรูป $m \times n$ โดย $m$ คือจำนวนแถว และ $n$ คือจำนวนหลัก อ่านว่า "เอ็ม บาย เอ็น"
3. การเท่ากันของเมทริกซ์ ต้องผ่านสองเงื่อนไข คือขนาดเท่ากัน และสมาชิกที่ตำแหน่งเดียวกันเท่ากันทุกตัว

เนื้อหาในบทนี้เป็นเพียงการรู้จักตัวตนของเมทริกซ์ ยังไม่มีการคำนวณใดๆ แต่เมื่อเราเข้าใจโครงสร้างและวิธีอ้างถึงสมาชิกแล้ว บทต่อไปเราจะเริ่มลงมือทำอะไรกับเมทริกซ์ได้บ้าง นั่นคือการดำเนินการพื้นฐาน ทั้งการบวก การลบ และการคูณ ซึ่งจะเป็นไปตามกฎที่เราต้องรู้จัก

ไปกันต่อในบทถัดไป: การดำเนินการพื้นฐานบนเมทริกซ์ ค่ะ