ทำความรู้จักกับลำดับ (Sequence)

ยินดีต้อนรับสู่บทแรกของคอร์ส ลำดับและอนุกรม (Sequence and Series) ในบทนี้เราจะเริ่มต้นจากสิ่งที่ง่ายที่สุดแต่สำคัญที่สุด นั่นคือการทำความเข้าใจว่า ลำดับ (Sequence) คืออะไร มีหน้าตาเป็นอย่างไร และเราจะบอกได้อย่างไรว่าลำดับหนึ่งมีกี่พจน์

เมื่อจบบทนี้คุณจะสามารถ:

• อธิบายความหมายของลำดับได้
• เขียนพจน์ทั่วไปของลำดับได้
• แยกความแตกต่างระหว่างลำดับจำกัดและลำดับอนันต์ได้

---

ลำดับ (Sequence) คืออะไร?

ลำดับ คือ รายการของตัวเลขที่เรียงกันตามลำดับที่แน่นอน แต่ละตัวเลขในลำดับเราเรียกว่า พจน์ (term) และตำแหน่งของแต่ละพจน์มีความสำคัญ เพราะการสลับตำแหน่งจะทำให้เป็นลำดับที่ต่างกัน

ตัวอย่างลำดับที่คุ้นเคย:

2, 4, 6, 8, 10, ...

นี่คือลำดับของเลขคู่ พจน์แรกคือ 2 พจน์ที่สองคือ 4 พจน์ที่สามคือ 6 ไปเรื่อย ๆ

เรามักเขียนลำดับในรูปทั่วไปดังนี้:

a₁, a₂, a₃, a₄, ..., aₙ

โดยที่:

• a₁ คือพจน์ที่ 1 (พจน์แรก)
• a₂ คือพจน์ที่ 2
• aₙ คือพจน์ที่ n (พจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไป)
• n คือตำแหน่งของพจน์ ซึ่งเป็นจำนวนเต็มบวก (1, 2, 3, ...)

ตัวอย่างลำดับในชีวิตประจำวัน

ลำดับไม่ได้มีอยู่แค่ในตำราคณิตศาสตร์ แต่อยู่รอบตัวเรา เช่น:

• เลขชั้นของอาคาร: 1, 2, 3, 4, 5, ...
• จำนวนวันในแต่ละเดือน: 31, 28, 31, 30, 31, 30, ...
• อุณหภูมิที่บันทึกทุกชั่วโมง: 28°, 29°, 30°, 31°, 30°, ...
• จำนวนผู้ติดตามในโซเชียลมีเดียแต่ละวัน: 1,200, 1,250, 1,310, 1,400, ...

ทุกกรณีข้างต้นคือลำดับ เพราะมีตัวเลขเรียงกันตามลำดับที่มีความหมาย

---

การเขียนพจน์ทั่วไป (General Term)

พจน์ทั่วไป คือ สูตรหรือกฎเกณฑ์ที่ใช้บอกค่าของพจน์ที่ n โดยไม่ต้องเขียนทุกพจน์ออกมา การเขียนพจน์ทั่วไปช่วยให้เราหาค่าของพจน์ใด ๆ ในลำดับได้

เราเขียนพจน์ทั่วไปในรูป aₙ ซึ่งอ่านว่า "พจน์ที่ n"

ตัวอย่างที่ 1: ลำดับเลขคู่

ลำดับ: 2, 4, 6, 8, 10, ...

ลองสังเกตรูปแบบ:

• พจน์ที่ 1: 2 = 2 × 1
• พจน์ที่ 2: 4 = 2 × 2
• พจน์ที่ 3: 6 = 2 × 3
• พจน์ที่ n: 2 × n

ดังนั้น พจน์ทั่วไปคือ:

aₙ = 2n

ถ้าอยากรู้พจน์ที่ 100 ก็แทน n = 100:

a₁₀₀ = 2 × 100 = 200

ตัวอย่างที่ 2: ลำดับกำลังสอง

ลำดับ: 1, 4, 9, 16, 25, ...

สังเกตว่า:

• พจน์ที่ 1: 1 = 1²
• พจน์ที่ 2: 4 = 2²
• พจน์ที่ 3: 9 = 3²
• พจน์ที่ n: n²

พจน์ทั่วไปคือ:

aₙ = n²

ตัวอย่างที่ 3: ลำดับที่ซับซ้อนขึ้น

ลำดับ: 3, 7, 11, 15, 19, ...

สังเกตว่าแต่ละพจน์เพิ่มขึ้นทีละ 4:

• พจน์ที่ 1: 3
• พจน์ที่ 2: 3 + 4 = 7
• พจน์ที่ 3: 3 + 4 + 4 = 3 + 4(2) = 11
• พจน์ที่ 4: 3 + 4(3) = 15
• พจน์ที่ n: 3 + 4(n − 1) = 4n − 1

พจน์ทั่วไปคือ:

aₙ = 4n − 1

ตรวจสอบ: a₅ = 4(5) − 1 = 19 ✓ ตรงกับลำดับ

การเขียนพจน์ทั่วไปด้วยโค้ด Python

เราสามารถใช้ Python เพื่อสร้างลำดับจากพจน์ทั่วไปได้:

# สร้างลำดับ aₙ = 2n (เลขคู่)
def a(n):
    return 2 * n

# แสดง 10 พจน์แรก
for n in range(1, 11):
    print(f"a_{n} = {a(n)}", end="  ")

# ผลลัพธ์: a_1 = 2  a_2 = 4  a_3 = 6  a_4 = 8  a_5 = 10  a_6 = 12  a_7 = 14  a_8 = 16  a_9 = 18  a_10 = 20

---

ลำดับจำกัดและลำดับอนันต์

ลำดับแบ่งออกเป็นสองประเภทหลัก ตามจำนวนพจน์ที่มี

ลำดับจำกัด (Finite Sequence)

ลำดับจำกัด คือลำดับที่มี จำนวนพจน์จำกัด คือมีพจน์แรกและพจน์สุดท้ายที่แน่นอน

ตัวอย่าง:

5, 10, 15, 20, 25

ลำดับนี้มี 5 พจน์ จึงเป็นลำดับจำกัด

ตัวอย่างอื่น ๆ ของลำดับจำกัดในชีวิตจริง:

• คะแนนสอบ 5 ครั้ง: 75, 82, 90, 88, 95
• อุณหภูมิ 7 วัน: 30°, 31°, 29°, 28°, 32°, 33°, 30°
• จำนวนนักเรียนในแต่ละชั้น ม.1 ถึง ม.6: 40, 42, 38, 41, 39, 43

ลำดับอนันต์ (Infinite Sequence)

ลำดับอนันต์ คือลำดับที่มี จำนวนพจน์ไม่จำกัด คือมีพจน์แรกแต่ไม่มีพจน์สุดท้าย เราเขียนแทนด้วยจุดไข่ปลา (...) ที่ท้ายลำดับ

ตัวอย่าง:

1, 2, 3, 4, 5, ...

ลำดับนี้เป็นจำนวนนับ 1, 2, 3, ... ไปเรื่อย ๆ ไม่มีที่สิ้นสุด

ตัวอย่างอื่น ๆ ของลำดับอนันต์:

• เลขคู่: 2, 4, 6, 8, ...
• ส่วนกลับของจำนวนนับ: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
• กำลังสอง: 1, 4, 9, 16, 25, ...

ตารางเปรียบเทียบ

ลักษณะ	ลำดับจำกัด	ลำดับอนันต์
จำนวนพจน์	จำกัด (มีกี่พจน์แน่นอน)	ไม่จำกัด (ไม่รู้จบ)
พจน์สุดท้าย	มี	ไม่มี
การเขียน	a₁, a₂, ..., aₙ	a₁, a₂, a₃, ...
ตัวอย่าง	3, 6, 9, 12	3, 6, 9, 12, ...

การแสดงลำดับด้วย Python

# ลำดับจำกัด: สร้าง list ที่มีจำนวนสมาชิกจำกัด
finite_seq = [3 * n for n in range(1, 6)]
print("ลำดับจำกัด:", finite_seq)
# ผลลัพธ์: ลำดับจำกัด: [3, 6, 9, 12, 15]

# ลำดับอนันต์: ใช้ generator สร้างค่าได้เรื่อย ๆ
# (ต้องหยุดเอง เพราะคอมพิวเตอร์ไม่สามารถเก็บค่าอนันต์ได้)
def infinite_seq():
    n = 1
    while True:
        yield 3 * n
        n += 1

# ดึง 5 พจน์แรกจากลำดับอนันต์
gen = infinite_seq()
first_five = [next(gen) for _ in range(5)]
print("5 พจน์แรกของลำดับอนันต์:", first_five)
# ผลลัพธ์: 5 พจน์แรกของลำดับอนันต์: [3, 6, 9, 12, 15]

---

แบบฝึกหัดท้ายบท

ลองทำดูก่อนเช็คคำตอบนะครับ

ข้อ 1: จงหาพจน์ที่ 20 ของลำดับที่มีพจน์ทั่วไป aₙ = 3n − 2

ข้อ 2: จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับต่อไปนี้

5, 10, 15, 20, 25, ...

ข้อ 3: ลำดับต่อไปนี้เป็นลำดับจำกัดหรืออนันต์?

(ก) 2, 4, 6, 8, 10
(ข) 1, 3, 5, 7, 9, ...

เฉลย

ข้อ 1: a₂₀ = 3(20) − 2 = 60 − 2 = 58

ข้อ 2: สังเกตว่าแต่ละพจน์คือ 5 × 1, 5 × 2, 5 × 3, ... ดังนั้น aₙ = 5n

ข้อ 3:

• (ก) ลำดับจำกัด (มี 5 พจน์ ไม่มีจุดไข่ปลา)
• (ข) ลำดับอนันต์ (มีจุดไข่ปลา ไม่มีพจน์สุดท้าย)

---

สรุปท้ายบท

ในบทนี้เราได้เรียนรู้ว่า:

1. ลำดับ (Sequence) คือรายการของตัวเลขที่เรียงตามลำดับที่แน่นอน แต่ละตัวเลขเรียกว่า พจน์ (term)
2. พจน์ทั่วไป (General Term) คือสูตรที่ใช้หาค่าของพจน์ที่ n เขียนในรูป aₙ
3. ลำดับจำกัด (Finite Sequence) มีจำนวนพจน์จำกัด มีพจน์สุดท้าย
4. ลำดับอนันต์ (Infinite Sequence) มีจำนวนพจน์ไม่จำกัด ไม่มีพจน์สุดท้าย

ในบทถัดไป เราจะมาเรียนรู้เรื่องที่หลายคนมักสับสน — อนุกรม (Series) อนุกรมต่างจากลำดับอย่างไร และเราจะนำลำดับมาบวกกันได้อย่างไร ติดตามต่อในบท แยกแยะลำดับกับอนุกรม (Series)