ทำความรู้จักกับเซตของจำนวนต่าง ๆ

ในบทแรกนี้ เราจะเดินทางสู่โลกของตัวเลขตั้งแต่ต้นกำเนิด เริ่มจากจำนวนที่เราใช้นับนิ้วมือในวัยเด็ก ไล่ไปจนถึงจำนวนที่ขยายออกไปเป็นวงกว้างจนครอบคลุมทุกจุดบนเส้นจำนวน เป้าหมายคือให้คุณเข้าใจว่า "จำนวนจริง" ประกอบด้วยกลุ่มจำนวนใดบ้าง แต่ละกลุ่มมีสมบัติอย่างไร และเซตเหล่านี้เกี่ยวข้องกันอย่างไร

เมื่ออ่านจบบทนี้ คุณจะรู้จักสัญลักษณ์ของเซตจำนวนแต่ละประเภท แยกแยะจำนวนตรรกยะกับอตรรกยะได้ และเห็นภาพความสัมพันธ์แบบเซตซ้อนเซตของระบบจำนวนทั้งหมด

จำนวนนับ (Natural Numbers)

จำนวนนับ หรือ Natural Numbers คือจำนวนที่เราใช้ "นับ" สิ่งของเป็นชิ้น ๆ เป็นจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ขึ้นไป

สัญลักษณ์: $\mathbb{N}$

$$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, \ldots\}$$

หมายเหตุ: บางตำรารวม 0 เป็นจำนวนนับด้วย แต่ในคอร์สนี้เราจะถือว่าจำนวนนับเริ่มที่ 1 เพื่อความสอดคล้องกับหลักสูตรไทยส่วนใหญ่

ตัวอย่าง

• $5 \in \mathbb{N}$ (5 เป็นจำนวนนับ)
• $0 \notin \mathbb{N}$ (0 ไม่เป็นจำนวนนับ ในนิยามของเรา)
• $-3 \notin \mathbb{N}$ (จำนวนลบไม่เป็นจำนวนนับ)
• $2.5 \notin \mathbb{N}$ (ทศนิยมไม่เป็นจำนวนนับ)

จำนวนนับเป็นเซตพื้นฐานที่ง่ายที่สุด แต่ยังไม่เพียงพอ เพราะในชีวิตจริงเราต้องใช้จำนวนลบ (เช่น อุณหภูมิติดลบ หรือยอดหนี้) และศูนย์ จึงต้องขยายเซตออกไป

---

จำนวนเต็ม (Integers)

เมื่อนำจำนวนนับมารวมกับ 0 และจำนวนเต็มลบ จะได้เซตของ จำนวนเต็ม หรือ Integers

สัญลักษณ์: $\mathbb{Z}$

$$\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$$

เคล็ดลับจำ: $\mathbb{Z}$ มาจากคำเยอรมัน Zahlen ที่แปลว่า "จำนวน"

ความสัมพันธ์กับจำนวนนับ

จำนวนนับเป็นสับเซตของจำนวนเต็ม เพราะทุกจำนวนนับเป็นจำนวนเต็ม แต่ไม่ใช่ทุกจำนวนเต็มที่เป็นจำนวนนับ

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$$

ตัวอย่าง

• $-7 \in \mathbb{Z}$ ✓
• $0 \in \mathbb{Z}$ ✓
• $100 \in \mathbb{Z}$ ✓
• $\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$ ✗ (เศษส่วนไม่เป็นจำนวนเต็ม)

จำนวนเต็มครอบคลุมมากขึ้น แต่ก็ยังไม่เพียงพอ เพราะเรายังต้องใช้เศษส่วนและทศนิยมในชีวิตประจำวัน เช่น ราคาสินค้า หรือการหารที่ไม่ลงตัว

---

จำนวนตรรกยะ (Rational Numbers)

จำนวนตรรกยะ หรือ Rational Numbers คือจำนวนที่เขียนในรูปเศษส่วน $\frac{p}{q}$ ได้ เมื่อ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเต็ม และ $q \neq 0$

สัญลักษณ์: $\mathbb{Q}$

$$\mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q} \;\middle|\; p, q \in \mathbb{Z}, \; q \neq 0\right\}$$

ทำไมจำนวนเต็มจึงเป็นจำนวนตรรกยะ?

เพราะจำนวนเต็มใด ๆ ก็เขียนเป็นเศษส่วนได้ เช่น $5 = \frac{5}{1}$ หรือ $-3 = \frac{-3}{1}$ หรือ $0 = \frac{0}{1}$

ดังนั้น $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$

ตัวอย่างจำนวนตรรกยะ

รูปเศษส่วน	รูปทศนิยม	หมายเหตุ
$\frac{1}{2}$	0.5	ทศนิยมสิ้นสุด
$\frac{1}{4}$	0.25	ทศนิยมสิ้นสุด
$\frac{1}{3}$	0.333...	ทศนิยมซ้ำ
$\frac{2}{3}$	0.666...	ทศนิยมซ้ำ
$\frac{22}{7}$	3.142857142857...	ทศนิยมซ้ำ (ไม่ใช่ π!)
$-\frac{5}{2}$	−2.5	ทศนิยมสิ้นสุด

ข้อสำคัญ: จำนวนตรรกยะทุกจำนวน เมื่อเขียนเป็นทศนิยมแล้ว จะเป็น ทศนิยมสิ้นสุด หรือ ทศนิยมซ้ำ เท่านั้น ไม่มีทศนิยมที่ไม่รู้จบและไม่ซ้ำแบบ

ตรวจสอบตัวอย่าง

จำนวน เป็นตรรกยะ? เหตุผล

─────────────────────────────────────────────

0.75 ใช่ = 3/4

0.333... ใช่ = 1/3

−6 ใช่ = −6/1

0.1010010001... ไม่ใช่ ทศนิยมไม่สิ้นสุดและไม่ซ้ำ

---

จำนวนอตรรกยะ (Irrational Numbers)

จำนวนอตรรกยะ หรือ Irrational Numbers คือจำนวนที่ ไม่สามารถ เขียนในรูป $\frac{p}{q}$ ได้ เมื่อ $p, q$ เป็นจำนวนเต็มและ $q \neq 0$

กล่าวอีกแบบคือ เป็นจำนวนที่เมื่อเขียนเป็นทศนิยมแล้วจะเป็น ทศนิยมไม่สิ้นสุดและไม่ซ้ำ

สัญลักษณ์: ไม่มีสัญลักษณ์มาตรฐานเฉพาะ มักเขียนเป็น $Q^{\prime }$ (จำนวนจริงที่ไม่ใช่ตรรกยะ)

ตัวอย่างจำนวนอตรรกยะที่คุ้นเคย

• $\pi = 3.14159265358979...$ (อัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงกับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม)
• $\sqrt{2} = 1.41421356237...$ (ความยาวทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านเท่ากับ 1)
• $e = 2.71828182845904...$ (ฐานของลอการิทึมธรรมชาติ)
• $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \ldots$ (รากที่สองของจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนกำลังสองสมบูรณ์)

ระวัง! $\frac{22}{7}$ เป็นเพียง ค่าประมาณ ของ $\pi$ ไม่ใช่ $\pi$ จริง ๆ $\frac{22}{7}$ เป็นจำนวนตรรกยะ แต่ $\pi$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

ทำไม $\sqrt{2}$ เป็นอตรรกยะ? (เกร็ดความรู้)

สมมติ $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ เมื่อ $p, q$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวประกอบร่วม (เศษส่วนอย่างต่ำ)

ยกกำลังสองทั้งสองข้าง: $2 = \frac{p^2}{q^2}$ จะได้ $2q^2 = p^2$

แปลว่า $p^2$ เป็นจำนวนคู่ ดังนั้น $p$ ต้องเป็นจำนวนคู่ เขียนเป็น $p = 2k$

แทนกลับ: $2q^2 = (2k)^2 = 4k^2$ จะได้ $q^2 = 2k^2$

แปลว่า $q^2$ เป็นจำนวนคู่ ดังนั้น $q$ ต้องเป็นจำนวนคู่ด้วย

แต่ถ้า $p$ และ $q$ เป็นจำนวนคู่ทั้งคู่ ก็แปลว่ามี 2 เป็นตัวประกอบร่วม ซึ่งขัดกับสมมติฐานที่ว่าเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ เกิด ขัดแย้ง จึงสรุปได้ว่า $\sqrt{2}$ ไม่สามารถเป็นจำนวนตรรกยะได้

---

จำนวนจริง (Real Numbers)

เมื่อนำจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะมารวมกัน จะได้เซตของ จำนวนจริง หรือ Real Numbers

สัญลักษณ์: $\mathbb{R}$

$\mathbb{R} = \mathbb{Q}\cup$ $Q^{\prime }$

กล่าวง่าย ๆ คือ จำนวนจริง = จำนวนตรรกยะ + จำนวนอตรรกยะ

จำนวนจริงครอบคลุมทุกจำนวนที่สามารถแสดงเป็นจุดบน เส้นจำนวน (number line) ได้ ไม่ว่าจะเป็นจำนวนเต็ม เศษส่วน ทศนิยม หรือค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์อย่าง $\pi$ และ $\sqrt{2}$

---

แผนภาพความสัมพันธ์ระหว่างเซตของจำนวน

ทั้งหมดเป็นเซตที่ซ้อนกันแบบนี้:

สรุปความสัมพันธ์:

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

---

ตัวอย่างฝึกหัด: จัดจำนวนเข้าเซตที่ถูกต้อง

ลองจัดจำนวนต่อไปนี้ว่าเป็นสมาชิกของเซตใดบ้าง ($\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ หรืออตรรกยะ)

จำนวน ℕ ℤ ℚ ℝ อตรรกยะ ──────────────────────────────────────────

7 ✓ ✓ ✓ ✓ ✗

−4 ✗ ✓ ✓ ✓ ✗

0 ✗ ✓ ✓ ✓ ✗

3/5 ✗ ✗ ✓ ✓ ✗

√9 = 3 ✓ ✓ ✓ ✓ ✗

√2 ✗ ✗ ✗ ✓ ✓

π ✗ ✗ ✗ ✓ ✓

−0.75 ✗ ✗ ✓ ✓ ✗

เคล็ดลับ: $\sqrt{9} = 3$ เป็นจำนวนเต็ม จึงเป็นตรรกยะ แต่ $\sqrt{2}$ ไม่เป็นจำนวนเต็มและไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ จึงเป็นอตรรกยะ ระวังอย่าสับสน!

---

สรุปท้ายบท

ในบทนี้ เราได้เรียนรู้เซตของจำนวน 5 ประเภทที่สำคัญ ดังนี้

เซต	ชื่อ	สัญลักษณ์	ตัวอย่าง
จำนวนนับ	Natural Numbers	$\mathbb{N}$	1, 2, 3, ...
จำนวนเต็ม	Integers	$\mathbb{Z}$	..., −2, −1, 0, 1, 2, ...
จำนวนตรรกยะ	Rational Numbers	$\mathbb{Q}$	$\frac{1}{2}$, $\frac{-3}{7}$, 0.333...
จำนวนอตรรกยะ	Irrational Numbers	$Q^{\prime }$	$\pi$, $\sqrt{2}$, $e$
จำนวนจริง	Real Numbers	$\mathbb{R}$	ทุกจำนวนข้างต้นรวมกัน

ประเด็นสำคัญที่ต้องจำ:

1. จำนวนตรรกยะ = จำนวนที่เขียนเป็นเศษส่วน $\frac{p}{q}$ ได้ (เมื่อ $q \neq 0$) ทศนิยมจะสิ้นสุดหรือซ้ำ
2. จำนวนอตรรกยะ = จำนวนที่เขียนเป็นเศษส่วนไม่ได้ ทศนิยมไม่สิ้นสุดและไม่ซ้ำ
3. จำนวนจริง = จำนวนตรรกยะ + จำนวนอตรรกยะ
4. ความสัมพันธ์แบบเซตซ้อนเซต: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$

บทถัดไป

ในบทถัดไป "โลกของเศษส่วนและทศนิยมซ้ำ" เราจะเจาะลึกลงไปในจำนวนตรรกยะกันให้ละเอียดมากขึ้น จะได้เรียนรู้วิธีแปลงเศษส่วนเป็นทศนิยมและกลับกัน รวมถึงเทคนิคการแปลงทศนิยมซ้ำกลับเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ พร้อมทำความเข้าใจว่าทำไมทศนิยมซ้ำถึงเป็นจำนวนตรรกยะได้ ถึงเวลาเจาะลึกโลกของเศษส่วนกันต่อ!